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关于初三数学期中考试题与答案
一、单项选择题：（每小题3分，共45分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． ax2+bx+c=0
C． （x﹣1）（x+2）=1 D． 3x2﹣2xy﹣5y2=0
2．抛物线y=2（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A． （﹣1，1） B． （1，﹣1） C． （﹣1，﹣1） D． （1，1）
3．若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（ ）
A． 10m B． m C． 15m D． m
6．如图，空心圆柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是（ ）
A． （0，8） B． （0，﹣8） C． （0，6） D． （﹣2，0）和（﹣4，0）
8．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
9．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有 +（2sinA﹣ ）2=0，则△ABC是（ ）
A． 直角（不等腰）三角形 B． 等腰直角三角形
C． 等腰（不等边）三角形 D． 等边三角形
10．函数y=﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（ ）
A． （2，﹣7） B． （2，7） C． （﹣2，﹣7） D． （﹣2，7）
11．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D． 3
12．如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A． 9 B． 10 C． 12 D． 13
13．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． m=l B． m＞l C． m≥l D． m≤l
14．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A． 78° B． 75° C． 60° D． 45°
15．如图，一次函数y1=k1+2与反比例函数y2= 的图象交点A（m，4）和B﹣8，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣8或0＜x＜4 B． x＞4或﹣8＜x＜0 C． ﹣8＜x＜4 D． x＜﹣8或x＞4
二、填空题：（每小题3分，共18分）
16．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捉了100条鱼，做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间后，等有标记的鱼完全混合于池塘中鱼群后，再捕第二次样本鱼200条，发现其中有标志的鱼25条，你估计一下，该池塘里现在有鱼 条．
17．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和是 cm．
18．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有多少人？若参加聚会有x名同学，可列方程 ．
19．反比例函数y= 的图象上有一点A（x，y），且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的两个根，则k=
20．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD= 度．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C11的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ．
三、解答题（要有必要的解答过程和相应的文字说明）
22．（1）解方程：2x2﹣3x=0；
（2）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF．求证：CE=CF．
23．（1）计算：2﹣1+（π﹣3.14）0+sin60°﹣|﹣ |
（2）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，点D是BC上一点，且DC=AC．求BD的长．
24．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
25．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
26．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数 （k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= ．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m， ）在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求证：△ABC是等腰三角形．
（3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动．当Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似．
28．如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证： ；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t＜4时，求S与t的函数关系式．
2014-2015学年山东省济南市章丘市第二实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（每小题3分，共45分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． ax2+bx+c=0
C． （x﹣1）（x+2）=1 D． 3x2﹣2xy﹣5y2=0
考点： 一元二次方程的定义．
专题： 方程思想．
分析： 一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答： 解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．抛物线y=2（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A． （﹣1，1） B． （1，﹣1） C． （﹣1，﹣1） D． （1，1）
考点： 二次函数的性质．
分析： 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
解答： 解：因为y=2（x+1）2﹣1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故选C．
点评： 主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．
3．若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 比例的性质．
分析： 根据比例设x=6k，y=5k，然后分别代入对各选项进行计算即可判断．
解答： 解：∵x：y=6：5，
∴设x=6k，y=5k，
A、 = = ，故本选项错误；
B、 = = ，故本选项错误；
C、 = =6，故本选项错误；
D、 = =﹣5，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了比例的性质，利用“设k”法表示出x、y可以使计算更加简便．
4．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形
考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
解答： 解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（ ）
A． 10m B． m C． 15m D． m
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题： 压轴题．
分析： 由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
解答： 解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，
即tan∠BAC= = = ，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10m，
故选：A．
点评： 此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．
6．如图，空心圆柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在左视图中．
解答： 解：圆柱的左视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，
故选：C．
点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
7．抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是（ ）
A． （0，8） B． （0，﹣8） C． （0，6） D． （﹣2，0）和（﹣4，0）
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据y轴上点的坐标特征把x=0代入解析式求出函数值即可确定抛物线与y轴的交点坐标．
解答： 解：把x=0代入得y=8，
所以抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是（0，8）．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 如果设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知△AOC的面积=5，△COB的面积=3，从而求出结果．
解答： 解：设直线AB与x轴交于点C．
∵AB∥y轴，
∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线y= 的图象上，∴△AOC的面积= ×10=5．
点B在双曲线y= 的图象上，∴△COB的面积= ×6=3．
∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积=5﹣3=2．
故选B．
点评： 本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．
9．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有 +（2sinA﹣ ）2=0，则△ABC是（ ）
A． 直角（不等腰）三角形 B． 等腰直角三角形
C． 等腰（不等边）三角形 D． 等边三角形
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
分析： 一个数的绝对值以及平方都是非负数，两个非负数的和是0，因而每个都是0，就可以求出tanB，以及sinA的值．进而得到∠A，∠B的度数．判断△ABC的形状．
解答： 解：∵ +（2sinA﹣ ）2=0，
根据非负数的性质，tanB= ；2sinA﹣ =0．
∴∠B=60°，∠A=60°．
则∠C=60°，△ABC为等边三角形．
故选D．
点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an=0，则必有a1=a2=…=an=0．
10．函数y=﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（ ）
A． （2，﹣7） B． （2，7） C． （﹣2，﹣7） D． （﹣2，7）
考点： 二次函数的性质．
分析： 先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．
解答： 解：∵原函数解析式可化为：y=﹣（x+2）2+7，
∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．
故选D．
点评： 本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．
11．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D． 3
考点： 锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解答： 解：由图形知：tan∠ACB= = ，
故选A．
点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
12．如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A． 9 B． 10 C． 12 D． 13
考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 求出 的值，推出△AEF∽△ABC，得出 = ，把S四边形BCFE=8代入求出即可．
解答： 解：∵ = ，
∴ = = ，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ = =
∴9S△AEF=S△ABC，
∵S四边形BCFE=8，
∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=9．
故选A．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
13．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． m=l B． m＞l C． m≥l D． m≤l
考点： 二次函数的性质．
分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
解答： 解：二次函数y=（x﹣m）2﹣1的对称轴为直线x=﹣m，
∵当x≤l时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
14．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A． 78° B． 75° C． 60° D． 45°
考点： 翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
专题： 计算题．
分析： 连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
解答： 解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．
故选：B．
点评： 此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
15．如图，一次函数y1=k1+2与反比例函数y2= 的图象交点A（m，4）和B（﹣8，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣8或0＜x＜4 B． x＞4或﹣8＜x＜0 C． ﹣8＜x＜4 D． x＜﹣8或x＞4
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数与一次函数的交点问题，先把B点坐标代入y2= 可计算出k2，确定反比例函数解析式，再把A（m，4）代入反比例函数解析式确定A点坐标，然后根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可．
解答： 解：把B（﹣8，﹣2）代入y2= 得k2=﹣8×（﹣2）=16，
则分别漯河市解析式为y2= ，
把A（m，4）代入y2= 得4m=16，解得m=4，
所以A点坐标为（4，4），
当﹣8＜x＜0或x＞4时，y1＞y2．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
16．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捉了100条鱼，做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间后，等有标记的鱼完全混合于池塘中鱼群后，再捕第二次样本鱼200条，发现其中有标志的鱼25条，你估计一下，该池塘里现在有鱼 800 条．
考点： 用样本估计总体．
专题： 计算题．
分析： 利用第二次样本鱼200条，其中有标志的鱼25条估计池塘里现在有标志的鱼的百分比，于是可得100：x=25：200，然后解方程即可．
解答： 解：设该池塘里现在有鱼x条，根据题意得100：x=25：200，解得x=800，
所以可估计该池塘里现在有鱼800条．
故答案为800．
点评： 本题考查了用样本估计总体：用样本估计总体是统计的基本思想，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
17．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和是 10 cm．
考点： 中点四边形．
分析： 根据顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
解答： 解：∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF=GH= AC，
EH=FG= BD，EH∥FG∥BD
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH= BD=3cm，EF= AC=4cm，
∴HF= =5（cm），
∴它的中点四边形的两条对角线长之和是：5+5=10（cm）．
故答案为：10．
点评： 本题考查了菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
18．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有多少人？若参加聚会有x名同学，可列方程 =45 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
分析： 设这次聚会的同学共x人，则每个人握手（x﹣1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手 次，即可列方程求解．
解答： 解：设参加聚会的同学共有x人，由题意，得
=45．
故答案为 =45．
点评： 本题考查理解题意的能力，每个人握了（x﹣1）次，共有x人，但有重复的，从而得到方程．
19．反比例函数y= 的图象上有一点A（x，y），且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的两个根，则k= ﹣1
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；根与系数的关系．
分析： 利用一元二次方程的根与系数的关系可以计算两根的积，而k=xy，据此即可求解．
解答： 解：x、y是方程a2﹣a﹣1=0的根，
则有xy=﹣1，
又∵点A（x，y）在反比例函数y= 的图象上，
∴xy=k，∴k=﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
20．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD= 60 度．
考点： 正方形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．
分析： 根据正方形及等边三角形的性质求得∠AFE，∠BFE的度数，再根据外角的性质即可求得答案．
解答： 解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°，
∴∠CBE=150°，
∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形
∴BC=BE，
∴∠BEC=15°，
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°，
∴∠BFE=60°，
在△CBF和△ABF中，
，
∴△CBF≌△ABF（SAS），
∴∠BAF=∠BCE=15°，
又∠ABF=45°，且∠AFD为△AFB的外角，
∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°．
故答案为60．
点评： 本题考查等边、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4） ．
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
分析： 首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5）与②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案．
解答： 解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，
同理可得：直线AB的解析式为：y= x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，
∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
∴过这两点的直线为：y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），
则B1C1∥BC，B1A1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y= x+b，
∴﹣2+a=5， +b=3，
解得：a=7，b= ，
∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y= x+ ，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；
②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），
则B1A1∥BC，B1C1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y= x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，
∴ ×2+c=5，﹣1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直线B1C1的解析式为y= x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
故答案为：（3，4）或（0，4）．
点评： 此题考查了位似图形的性质．此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．
三、解答题（要有必要的解答过程和相应的文字说明）
22．（1）解方程：2x2﹣3x=0；
（2）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF．求证：CE=CF．
考点： 菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）将方程左边的多项式提取公因式x，分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
（2）根据菱形的性质，利用SAS判定△ACE≌△ACF，从而求得CE=CF．
解答： （1）解：x（2x﹣3）=0，
x=0或2x﹣3=0，
∴x1=0，x2= ；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，AC为公共边，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴CE=CF．
点评： （1）此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
（2）本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
23．（1）计算：2﹣1+（π﹣3.14）0+sin60°﹣|﹣ |
（2）如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，点D是BC上一点，且DC=AC．求BD的长．
考点： 解直角三角形；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： （1）分别根据0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值即绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形的性质得出BE=CE，在Rt△ACE中根据AC=10，sin∠C= ，得出AE=6，由勾股定理求出CE的值，再由BD=BC﹣BD=BC﹣AC即可得出结论．
解答： （1）解：原式= +1+ ﹣
= ；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C= ，
∴AE=6，
∴CE= =8，
∴BD=2CE=16，
∴BD=BC﹣BD=BC﹣AC=6．
点评： 本题考查的是解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：
（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积．
解答： 解：设花边的宽为x米，
根据题意得（2x+6）（2x+3）=40，
解得x1=1，x2=﹣ ，
x2=﹣ 不合题意，舍去．
答：花边的宽为1米．
点评： 本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
25．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
考点： 游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
专题： 探究型．
分析： （1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．
解答： 解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，
故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： ；
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ．
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
故这个游戏不公平．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
26．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数 （k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= ．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）根据点E的纵坐标判断出OA=4，再根据tan∠BOA= 即可求出AB的长度；
（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；
（3）先利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度．
解答： 解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，
∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2；
（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴ =1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y= ，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴ =n，
解得n= ；
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴ =2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=（2﹣t）2+12，
解得t= ，
∴OG=t= ．
点评： 本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m， ）在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求证：△ABC是等腰三角形．
（3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动．当Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出a、b的值，继而得出抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线解析式可得出m的值，求出CA、CB的长度，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，利用对应边成比例解出t的值即可．
解答： 解：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y=ax2+bx+3得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数解析式是y=x2﹣4x+3．
（2）抛物线的对称轴是x=2，
∵点C（m， ）在抛物线对称轴上，
∴m=2，
∴点C（2， ），
∴CA= =4，CB= =4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形．
（3）∠A是公共角，
①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，
∴ = ，
解得：t= ．
②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，
∴ = ，
∴t= ，
∴当t= 或t= 时，△APQ与△ABC相似．
点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定与性质，难点在第三问，关键是分类讨论，不要漏解，注意相似三角形的对应边成比例．
28．如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证： ；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t＜4时，求S与t的函数关系式．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）首先判断出△AEF∽△ABC，即可推得 ；然后判断出△AEH∽△ABD，即可推得 ．
（2）首先求出EQ的值是多少；然后根据S矩形EFPQ=EFEQ，求出S矩形EFPQ关于x的函数关系式，再应用配方法，求出当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，以及S矩形EFPQ的最大值是多少即可．
（3）首先判断出△FPC是等腰直角三角形，求出PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9；然后设EF、PF分别交AC于点M、N，判断出△MFN是等腰直角三角形，推得FN=MF=t，求出S与t的函数关系式即可．
解答： （1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
又∵△AEH∽△ABD，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）得 = ，
∴AH= x，
∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣ x，
∴S矩形EFPQ=EFEQ=x（8﹣ x）=﹣ x2+8x=﹣ （x﹣5）2+20，
∵﹣ ＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（3）解：如图1，
由（2）得EF=5，EQ=8﹣ =8﹣4=4，
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=5+4=9．
如图2， ，
当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
∵∠MFN=90°，∠FMN=∠C=45°，
∴FNM=45°，
∴△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S矩形EFPQ﹣S△MFN=20﹣ t2=﹣ t2+20．
点评： （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
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