六年级奥数计数问题及答案

题型:计数问题 难度:★★
如果一个大于9的整数,其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小,那么我们称它为"迎春数".那么,小于2008的"迎春数"共有 个。
【答案解析】
这是一道组合计数问题.
方法一:枚举法――按位数分类计算.
一、两位数中,"迎春数"个数
(1)十位数字是1,这样的"迎春数"有12,13,…,19,共8个;
(2)十位数字是2,这样的"迎春数"有23,…,29,共7个;
(3)十位数字是3,这样的"迎春数"有34,…,39,共6个;
(4)十位数字是4,这样的"迎春数"有45,…,49,共5个;
(5)十位数字是5,这样的"迎春数"有56,…,59,共4个;
(6)十位数字是6,这样的"迎春数"有67,68,69,共3个;
(7)十位数字是7,这样的"迎春数"有78,79,共2个;
(8)十位数字是8,这样的"迎春数"只有89这1个;
(9)没有十位数字是9的两位的"迎春数";
所以两位数中,"迎春数"共有36个.
二、三位数中,"迎春数"个数
(1)百位数字是1,这样的"迎春数"有123-129,134-139,…,189,共28个;
(2)百位数字是2,这样的'"迎春数"有234-239,…,289,共21个;
(3)百位数字是3,这样的"迎春数"有345-349,…,389,共15个;
(4)百位数字是4,这样的"迎春数"有456-459,…,489,共10个;
(5)百位数字是5,这样的"迎春数"有567-569,…,589,共6个;
(6)百位数字是6,这样的"迎春数"有678,679,689,共3个;
(7)百位数字是7,这样的"迎春数"只有789,这1个;
(8)没有百位数字是8,9的三位的"迎春数";
所以三位数中,"迎春数"共有84个.
三、1000-1999的自然数中,"迎春数"个数
(1)前两位数字是12,这样的"迎春数"有1234-1239,…,1289,共21个
(2)前两位数字是13,这样的"迎春数"有1345-1349,…,1389,共15个;
(3)前两位数字是14,这样的"迎春数"有1456-1459,…,1489,共10个;
(4)前两位数字是15,这样的"迎春数"有1567-1569,…,1589,共6个;
(5)前两位数字是16,这样的"迎春数"有1678,1679,1689,共3个;
(6)前两位数字是17,这样的"迎春数"只有1789这1个;
(7)没有前两位数字是18,19的四位的"迎春数";
所以四位数中,"迎春数"共有56个.
四、2000-2008的自然数中,没有"迎春数"
所以小于2008的自然数中,"迎春数"共有36+84+56=176 个.
方法二:利用组合原理?
小于2008的"迎春数",只可能是两位数、三位数和1000多的数.
计算两位 "迎春数"的个数,它就等于从1-9这9个数字中任意取出2个不同的数字,
每一种取法对应于一个"迎春数",即有多少种取法就有多少个"迎春数".显然不同的取
法有9×8÷2=36 中,所以两位的"迎春数"共有36个.
同样计算三位数和1000多的数中"迎春数"的个数,它们分别有 9×8×7÷3÷2÷1=84个和8×7×6÷3÷2÷1=56 个.
所以小于2008的自然数中,"迎春数"共有36+84+56=176 个。