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高考数学复习不等式的概念与性质学案及答案
一、选择题(每小题5分，共25分)
10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．
11．(14分)已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2.试比较a，b，c的大小．
学案33 不等式的概念与性质
自主梳理
1．常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)ab>1 4.(1)bc (3)a＋c>b＋c a＋c>b＋d (4)ac>bc ac>bd (5)an>bn (n∈N且n≥2) (6)na>nb (n∈N且n≥2)
(7)1a<1b
自我检测
1．A 2.D 3.D 4.D
5．①③⑤
课堂活动区
例1 解题导引 比较大小有两种基本方法：
(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．
解 (1)方法一 (x2＋2)(x－)－(x2－2)(x＋)＝(x－)[x2＋2－(x＋)2]＝－2x(x－)，
∵x<<0，∴x>0，x－<0.
∴－2x(x－)>0.
∴(x2＋2)(x－)>(x2－2)(x＋)．
方法二 ∵x<<0，
∴x－<0，x2>2，x＋<0.
∴(x2＋2)(x－)<0，(x2－2)(x＋)<0.
∴0<x2＋2x－x2－2x＋＝x2＋2x2＋2＋2x<1.
∴(x2＋2)(x－)>(x2－2)(x＋)．
(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0.
而an＋bncn＝acn＋bcn.
∵a2＋b2＝c2，则ac2＋bc2＝1，
∴0<ac<1,0<bc<1.
∵n∈N，n>2，
∴acn<ac2，bcn<bc2.
∴an＋bncn＝acn＋bcn<a2＋b2c2＝1.
∴an＋bn<cn.
变式迁移1 解 方法一 (作差法)
ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，
∵a>2，b>2，∴a－1>1，b－1>1.
∴(a－1)(b－1)－1>0.
∴ab－(a＋b)>0.
∴ab>a＋b.
方法二 (作商法)∵a＋bab＝1b＋1a，
且a>2，b>2，∴1a<12，1b<12.
∴1b＋1a<12＋12＝1.
∴a＋bab<1.又∵ab>4>0，∴a＋b<ab.
例2 D [由a>bac>bc，c>dbc>bd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac>bd是正确的，由ac>bdad>bc是对不等式ac>bd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的．]
变式迁移2 B [∵a<b<0，∴ab>0.
取倒数，则有1a>1b，选项A正确．
∵a<b<0，∴|a|>|b|和a2>b2两个不等式均成立，选项C、D正确．
对于B，1a－b－1a＝baa－b，
又∵a<b<0，∴a－b<0.∴baa－b<0，
即1a－b<1a.∴选项B不成立．]
例3 解题导引 第(2)题中，由于f(x)＝ax2＋bx，所以f(－2)、f(－1)和f(1)都是关于a，b的代数式，由于已知f(－1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出f(－2)，通过等式两边a、b系数相等求出待定系数，然后通过f(－1)、f(1)的范围求出f(－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求的是z＝4a－2b的范围．
解 (1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15.
∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.
又136<1b<115，∴1236<ab<6015.
∴13<ab<4.
(2)方法一 由f－1＝a－bf1＝a＋b，
得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1].
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
方法二 设f(－2)＝f(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(＋n)a＋(n－)b，
∴＋n＝4，n－＝－2，解得＝3，n＝1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
∴f(－2)的取值范围是[5,10]．
变式迁移3 (1)[－3π2，π] (2)(3,8)
解析 (1)由－π2≤α≤π2
－π≤2α≤π，
由0≤β≤π－π2≤－β2≤0，
两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.
所以2α－β2的范围为－3π2，π.
(2)设2x－3＝λ(x＋)＋μ(x－)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)，对应系数相等，
则λ＋μ＝2λ－μ＝－3λ＝－12，μ＝52，
从而2x－3＝－12(x＋)＋52(x－)∈(3,8)．
课后练习区
1．A [由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．
由b>cab>ac，b可能为0，故A正确．
b<ab－a<0又c<0c(b－a)>0，故B错误．
a>ca－c>0又ac<0ac(a－c)<0，故D错误．]
2．C [∵a>b>0，∴ab>0，∴1b>1a.
∴a＋1b>b＋1a.故选C.]
3．D [只有指数函数＝2x在R上为增函数，所以D正确．而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误．]
4．D [∵a<b<0，∴a－b<0.1a－b－1b＝2b－aa－bb，2b－a的正负不确定，即1a－b>1b有可能成立；又∵a<b<0，
∴|a|>|b|>0，则有1|a|<1|b|，即1|a|>1|b|不成立．]
5．D [①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，
得ca>db，即ca－db>0；
②由ab>0，ca－db>0，即ca>db，
得bc>ad，即bc－ad>0；
③由bc－ad>0，ca－db>0，
即bc－adab>0，得ab>0；
故可组成3个正确的命题．]
6．3
解析 ∵x>>1,0<a<1，∴ax<a，lgax<lga，
故①成立，②不成立．
∵xa>a>0，∴x－a<－a，③不成立．
又lgax<lga<0，∴1lgax>1lga.
即lgxa>lga，∴④也不成立．
7．①②
解析 ∵ad<0，bc>0，∴ad<bc，故①正确；
又∵c<d<0，∴c2>d2>0.
由已知a>b，同向不等式相加得a＋c2>b＋d2，故②正确；
对于结论③，d－c>0，b－c的正、负不确定，故③不正确．
8.－π2，π2 －π2，0
解析 ∵－π2≤α<π2，－π2<β≤π2，
∴－π<α＋β<π，∴－π2<α＋β2<π2.
∵－π2≤－β<π2，
∴－π≤α－β<π，∴－π2≤α－β2<π2.
又∵α－β<0，∴－π2≤α－β2<0.
9．解 ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2
＝(a－b)1b2－1a2＝a＋ba－b2a2b2.(6分)
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0.
∴ab2＋ba2≥1a＋1b.(12分)
10．解 aabbabba＝aa－bbb－a＝aba－b，(4分)
当a>b>0时，ab>1，a－b>0，
∴aba－b>1；(8分)
当0<a<b时，ab<1，a－b<0，
∴aba－b>1.(11分)
综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabb>abba.
(12分)
11．解 ∵bc>a2>0，∴b，c同号．(2分)
又a2＋c2>0，a>0，∴b＝a2＋c22a>0.
∴c>0.(4分)
由(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
∴b－c≥0.(6分)
当b－c>0，即b>c时，
由b＝a2＋c22abc>a2a2＋c22ac>a2(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，∴2a2＋ac＋c2>0.
∴a－c<0，即a<c，则a<c<b.(10分)
当b－c＝0，即b＝c时，
∵bc>a2，∴b2>a2，即b≠a.
又∵a2－2ab＋c2＝(a－b)2＝0a＝b与a≠b矛盾，
∴b－c≠0.综上，可知a<c<b.(14分)
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