高考数学答题的三种题型

时间：2022-12-09 18:16:16 高考数学我要投稿

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高考数学答题的三种题型

　　高考数学答题技巧精选：常见的三种题型，供考生参考。

高考数学答题的三种题型

　　“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零.强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化.

　　模板1 三角变换与三角函数的性质问题

　　已知函数f(x)=2cos x·sin-sin2x+sin xcos x+1.

　　(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数f(x)的单调递增区间.

　　审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x)=Asin(ωx+φ)+h→结合性质求解.

　　规范解答示例构建答题模板解 f(x)=2cos x-sin2x+sin xcos x+1

　　=2sin xcos x+(cos2x-sin2x)+1=sin 2x+cos 2x+1

　　=2sin+1.

　　(1)函数f(x)的最小正周期为=π.

　　(2)∵-1≤sin≤1，∴-1≤2sin+1≤3.

　　∴当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3;

　　当2x+=-+2kπ，k∈Z，即x=-+kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值-1.

　　(3)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z.

　　∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式.

　　第二步整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件.

　　第三步求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果.

　　第四步反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性. (2014·福建)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.

　　(1)若0<α<，且sin α=，求f(α)的值;

　　(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.

　　解方法一 (1)因为0<α<，sin α=，

　　所以cos α=.

　　所以f(α)=×(+)-=.

　　(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-

　　=sin 2x+-

　　=sin 2x+cos 2x

　　=sin(2x+)，

　　所以T==π.

　　由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得

　　kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.

　　所以f(x)的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z.

　　方法二 f(x)=sin xcos x+cos2x-

　　=sin 2x+-

　　=sin 2x+cos 2x

　　=sin(2x+).

　　(1)因为0<α<，sin α=，所以α=，

　　从而f(α)=sin(2α+)=sin=.

　　(2)T==π.

　　由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得

　　kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.

　　所以f(x)的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z.

　　模板2 解三角形问题

　　在△ABC中，若acos2+ccos2=b.

　　(1)求证：a，b，c成等差数列;

　　(2)求角B的取值范围.

　　审题路线图 (1)―→―→

　　(2)―→―→

　　规范解答示例构建答题模板 (1)证明因为acos2+ccos2=a·+c·=b，

　　所以a+c+(acos C+ccos A)=3b，

　　故a+c+=3b，

　　整理，得a+c=2b，故a，b，c成等差数列.

　　(2)解 cos B==

　　=≥=，

　　因为0c，已知·=2，cos B=，b=3.求：

　　(1)a和c的值;

　　(2)cos(B-C)的值.

　　解 (1)由·=2得c·acos B=2.

　　又cos B=，所以ac=6.

　　由余弦定理，得a2+c2=b2+2accos B.

　　又b=3，所以a2+c2=9+2×6×=13.

　　解得或

　　因为a>c，所以a=3，c=2.

　　(2)在△ABC中，

　　sin B== =，

　　由正弦定理，

　　得sin C=sin B=×=.

　　因为a=b>c，

　　所以C为锐角，

　　因此cos C== =.

　　于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C

　　=×+×=.

　　模板3 数列的通项、求和问题

　　(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

　　(1)令cn=，求数列{an}的通项公式;

　　(2)若bn=3n-1，求数列{an}的前n项和Sn.

　　审题路线图 (1)→→→

　　(2)→

　　规范解答示例构建答题模板解 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0，n∈N*)，

　　所以-=2，即cn+1-cn=2，

　　所以数列{cn}是以首项c1=1，公差d=2的等差数列，故cn=2n-1.

　　(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1，

　　于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1，

　　3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n，

　　相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n，

　　所以Sn=(n-1)3n+1. 第一步找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式.

　　第二步求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式.

　　第三步定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).

　　第四步写步骤：规范写出求和步骤.

　　第五步再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范. 已知点是函数f(x)=ax (a>0，且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)-c.数列{bn} (bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+ (n≥2).

　　(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

　　(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少?

　　解 (1)∵f(1)=a=，∴f(x)=x.

　　由题意知，a1=f(1)-c=-c，

　　a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-，

　　a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-.

　　又数列{an}是等比数列，

　　∴a1===-=-c，

　　∴c=1.又公比q==，

　　∴an=-·n-1=-2·n (n∈N*).

　　∵Sn-Sn-1=(-)(+)

　　=+ (n≥2).

　　又bn>0，>0，∴-=1.

　　∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，

　　=1+(n-1)×1=n，即Sn=n2.

　　当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

　　当n=1时，b1=1也适合此通项公式.

　　∴bn=2n-1 (n∈N*).

　　(2)Tn=+++…+

　　=+++…+

　　=×+×+×+…+×=×=.

　　由Tn=>，得n>，

　　∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.

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