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函数与方程思想高考数学解题思想
函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
例3若曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是________。
分析：本题从方程的角度出发可直接作出方程y=2x+1的方程y=b的图像，观察即可得出结论，也可将“曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点”转化为判断方程b=2x+1何时无解的问题。
解：因为函数y=2x+1的值域为(1,+∞)，所以当b≤1，即-1≤b≤1时，方程b=2x+1无解，即曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点。
例4设函数f(x)=log2(2x+1)的反函数为y=f-1(x)，若关于x的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解，则实数m的取值范围是。
分析：求出函数f(x)的反函数f-1(x)=log2(2x-1)，可将方程转化为m=log2(2x-1)-log2(2x+1)，于是原问题转化为求函数y=log2(2x-1)-log2(2x+1)，x∈[1,2]的值域。
解：由已知f-1(x)=log2(2x-1)，所以f-1(x)=m+f(x)化为m=log2(2x-1)-log2(2x+1)，令y=log2(2x-1)-log2(2x+1)，x∈[1,2]，则y=log2■=log2(1-■)，此函数在[1,2]上是单调递增函数，所以值域为[log2■,log2■]，于是m的取值范围为[log2■,log2■,]。
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