矩阵理论试题及答案

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　　矩阵理论试题及答案

　　一、判断题40分对者打错者打

　　1、设矩阵且则.的特征值为或者 0A1B

　　2、设mnAR的奇异值为12n则2221niiA.

　　3、设nnAC且有某种算子范数使得1A则111EAA其中E为n阶单位矩阵.

　　5、设123424681101A则A的M-P广义逆A的秩1rankA.

　　6、若A为列满秩矩阵则既是A的左逆又是A的M-P广义逆A.

　　7、设n21线性空间nV的一组基nV上向量x的.范数.

　　8、设01821022330A则A有三个实特征值.

　　9、设G为矩阵mnrACrn的广义逆AABD为A的最大秩分解则 rDGB2.

　　10、设1nCaAnnij为严格对角占优矩阵阶单位矩阵则B的谱半径1Br.

　　二、计算与证明60分

　　1. 设矩阵U是酉矩阵 12diagnAaaa 证明: UA的所有特征值满足不等式 m. 10分

　　2. 设a是nnC上的相容的矩阵范数 矩阵BC都是n阶可逆矩阵 且1aB及1aC都小于或等于1 证明: 对任意矩阵nnAC baABAC 定义了nnC上的一个相容的矩阵范数. 10分

　　3. 已知矩阵求矩阵A的最大秩分解 2 求A 3 用广义逆矩阵方法判断方程组Axb是否有解 4 求方程组Axb的最小范数解或最佳逼近解要求指出所求的是哪种解 10分 解: 0方程组Axb有解 4 最小范数解:011132xAb.

　　4. 用Gerschgorin圆盘定理证明: 矩阵A能够相似于对角矩阵 且A的特征值都是正实数. 证明: A的5个盖尔圆盘为它们都是孤立的 从而矩阵有5个互异特征值 所以矩阵能够相似于对角矩阵 再由iG关于实轴对称且都在y坐标轴右边 以及实矩阵的复数特征值成对共扼