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图论复习试题及答案
图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。以下是由阳光网小编整理关于图论复习试题的内容，希望大家喜欢!
图论复习试题及答案
1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。
(1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图
答：(4)(考察图的定义)
2、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
答：所有结点一次且恰好一次
3、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。 答：以v为起点的边的条数， 以v为终点的边的条数
4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定
答：1
5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 n(n?1)答：, n-1 2
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
答：m=n-1
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
答：所有边一次且恰好一次
8、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。
答：2n-2(结点度数的定义)
9、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 答：n(n-1),2n-2
10、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
答：它是连通图
11、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则
(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
答：(3)
12、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 答：2
13、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。
答：1， 树
14、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于:
(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
答：(1)
15、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
答：无简单回路
16、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16
答：(4)
17、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
答：(4)
18、设图G=<V，E>，V={a，b，c，d，e}，E={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<c,d>,<d,e>},则G是有向图还是无向图?
答：有向图
19、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
答：偶数
20、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成?
(1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5
答：(3)
21、在有n个顶点的连通图中，其边数( )。
(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条
(3) 最多有n条 (4) 至少有n 条
答：(2)
22、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为( )。
(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9
答：(4)
23、若一棵完全二元(叉)树有2n-1个顶点，则它( )片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2
答：(1)
24、下列哪一种图不一定是树( )。
(1) 无简单回路的连通图 (2) 有n个顶点n-1条边的连通图
(3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图 答：(3)
25、连通图G是一棵树当且仅当G中( )。
(1) 有些边是割边 (2) 每条边都是割边
(3) 所有边都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径
答：(2)
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26、证明在有n个结点的树中，其结点度数之和是2n-2。
证明：
设T=<V,E>是任一棵树，则|V|=n，且|E|=n-1。
由欧拉握手定理，树中所有结点的度数之和等于2|E|.
从而结点度数之和是2n-2。
27、任一图中度数为奇数的结点是偶数个。
证明：
设G=〈V,E〉是任一图。设|V|=n。
由欧拉握手定理可得 ?deg(v)=2|E|可得，图中所有结点度数之和是
v?V
偶数。显然所有偶数度结点的度数之和仍为偶数，从而所有奇数度结点的度数之和也是偶数。因此，图中度数为奇数的结点一定为偶数个。
28、连通无向图G的任何边一定是G的`某棵生成树的弦。这个断言对吗?若是对的请证明之，否则请举例说明。
证明：
不对。
反例如下：若G 本身是一棵树时，则G的每一条边都不可能是G的任一棵生成树(实际上只有惟一一棵)的弦。
29、设T=<V,E>是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在两片树叶。
证明：
(用反证法证明)设|V|=n。
因为T=〈V,E〉是一棵树，所以|E|=n-1。
由欧拉握手定理可得 ?deg(v)=2|E|=2n-2。
v?V
假设T中最多只有1片树叶，则?deg(v)?2(n-1)+1>2n-2。
v?V
得出矛盾。
30、设无向图G=<V,E>，|E|=12。已知有6个3度顶点，其他顶点的度数均小于3。问G中至少有多少个顶点?
解：
设G中度数小于3的顶点有k个，由欧拉握手定理
24=?deg(v)
v?V
知，度数小于3 的顶点度数之和为6。故当其余的顶点度数都为2时，G的
顶点最少。即G中至少有9个顶点。
30、设图G=<V,E>，|V|=n，|E|=m。k度顶点有nk个，且每个顶点或是k度
顶点或是k+1度顶点。证明：nk=(k+1)-2m。
证明：
由已知可知，G中k+1度顶点为n-nk个。再由欧拉握手定理可知
2m=?deg(v)=knk+(k+1)(n-nk)=(k+1)n+-nk
v?V
故nk=(k+1)-2m。
31、如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,?,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
解： 用库斯克(Kruskal)算法求产生的最优树。算法略。结果如图：
树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。
一、填空题(每个2分，共20分)
二、选择题(每个2分，共20分)
三、问答题(每个4分，共20分)
1、图的同构
2、图的连通
3、Hamilton图
4、Euler 图
5、树图
6、割边
7、割点
8、关联矩阵
9、邻接矩阵
10、连通度
11、完全图
12、二部图
13、简单图
14、平面图
15、生成树
四、证明题(每题10分，共20分)
五、计算题(20分)
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