偏微分方程试题及答案

偏微分方程试题及答案

　　偏微分方程是一门专业性比较强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好偏微分方程。下面是阳光网小编给大家整理的偏微分方程试题及答案，欢迎大家学习参考。

　　偏微分方程试题及答案

　　一、填空题(每小题3 分，共15 分)

　　1.对常系数方程作未知函数的变换 可以将所有一阶微商消失.

　　2.设 是光滑凸函数， ( , ) u x t 是热传导放程 0 t u u ? ? ? 的解，则 ( ) u ? 是热传导方程 的 (下解;上解;解).

　　3.上半平面的 Green 函数 G(x,y)为 ，其中 1 2 ( , ) y y y为上半平面中某固定点.

　　4.设函数 u 在以曲面? 为边界的区域? 内调和，在? ? 上有连续的一阶偏导数，则其中n 是? 的外法方向.

　　5.热传导方程 2 ( ) 0 t xx yy u a u u 的特征曲面为 . 得分 第 2 页 共5 页

　　二、计算题(每小题10 分，共40 分)

　　1.求解初值问题 其中， , b c R ? 都是常数.

　　2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：得分 第 3 页 共5 页

　　3.试求解 解的一般形式. 第 4 页 共5 页

　　三、判断分析题(10 分) 试判断下面命题是否成立，并说明原因. 在证明Hopf 引理的`过程中，我们能够作出一个辅助函数 ( ) v x 满足 (a)在球面 ( ) R B y ? 上 0; v ? (b)v 沿球 ( ) R B y 的半径方向的方向导数 v ? ? ? <0; (c)在整个球 ( ) R B y 内下调和. 四、分析计算题(15 分) 试判断下列方程的类型，并根据标准型求出此方程的通解. 得分 得分 第 5 页 共5 页 五、证明题(下面两道题请任选一题)(20 分) 1.设G 是 2 R 中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明： 满足方程 0 xx yy u u ? ? 的函数u(x,y) 在G 上的最大值不会超过它在边界 G ? 上的最大值.

　　2.试用能量法(即用格林第一公式法)证明n 维Laplace 方程的第三边值问题 1 2 n u(x) 0, x=(x , x , , x ) , 0 u u f n

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