大学《高等数学》试题及答案

大学《高等数学》试题及答案

高等数学试题及答案

一、填空题

1、设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是_ｙ＝ｘ2＋１__。

　
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅ^x  上点（ ０，１ ）处的切线方程是______２ｘ－ｙ＋１＝０________。

                                                    ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ───────────────  ＝__５Ａ_。
   　                                        h→o                  h

　　５．∫─────ｄｘ＝_____________。
   　      １－ｘ⁴
                       １
　　６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。
   　    x→∞           Ｘ

　　７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

                         _______
   　            R       √R²－ｘ²
　　８．累次积分∫ ｄｘ  ∫       ｆ（Ｘ² ＋ Ｙ²  ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为_______。
   　            0        0

   　            ｄ³ｙ     ３    ｄ²ｙ
　　９．微分方程─── ＋ ──（─── ）²  的阶数为____________。
   　            ｄｘ³     ｘ    ｄｘ²

   　            ∞                  ∞
　　１０．设级数 ∑  ａ_n发散，则级数 ∑ ａ_n  _______________。
   　            n=1                n=1000

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

  （一）每小题１分，共１０分

                         １
    １．设函数ｆ（ｘ）＝──  ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ ( ③)
                         ｘ

              １                 １                １
      ①１－ ──        ②１＋ ──         ③ ────        ④ｘ
              ｘ                 ｘ             １－ ｘ

                           １
    ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是  ( ③)
                           ｘ

      ①无穷大量         ②无穷小量          ③有界变量         ④无界变量

    ３．下列说法正确的是  ( ④)

      ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，  则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
      ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
      ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
      ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导

    ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为( ④ )

      ①上升的凸弧        ②下降的凸弧      ③上升的凹弧      ④下降的凹弧

　   ５．设Ｆ'(x)  ＝  Ｇ'(x)，则 ( ②)

      ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
      ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数
      ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
           ｄ                     ｄ
      ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ  ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
         ｄｘ                   ｄｘ

      　    1
   　  ６．∫ │ｘ│ｄｘ  ＝ ( ② )
      　   -1

       ① ０       ② １       ③ ２       ④ ３

    　 ７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 ( ② )

       ①平行于ｘｏｙ面的平面
       ②平行于ｏｚ轴的平面
       ③过ｏｚ轴的平面
       ④直线

       　                                          ｘ
    　 ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ³ ＋ ｙ³ ＋ ｘ² ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝  ( ⑤)
      　                                           ｙ

                                                                        １
       ①ｔｆ（ｘ，ｙ）    ②ｔ²ｆ（ｘ，ｙ）    ③ｔ³ｆ（ｘ，ｙ）  ④  ──ｆ（ｘ，ｙ）
                                                                        ｔ²

     　                           ａ_n＋１               ∞
    　 ９．设ａ_n≥０，且ｌｉｍ  ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａ_n   ( ④)
   　                    n→∞      ａ                  n=1

       ①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散
       ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散
       ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散
       ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散

   　 １０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ²ｙ 是   (③ )

       ①一阶线性非齐次微分方程
       ②齐次微分方程
       ③可分离变量的微分方程
       ④二阶微分方程

　　 （二）每小题２分，共２０分

   　 １１．下列函数中为偶函数的是   ( ④)

       ①ｙ＝ｅ^x          ②ｙ＝ｘ³＋１          ③ｙ＝ｘ³ｃｏｓｘ     ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

   　 １２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ₁〈ｘ₂〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使 ( ④)

       ①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
       ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ₂－ｘ₁）
       ③ｆ（ｘ₂）－ｆ（ｘ₁）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
       ④ｆ（ｘ₂）－ｆ（ｘ₁）＝ｆ'（ζ）（ｘ₂－ｘ₁）

  　  １３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的    ( ⑤ )

       ①充分必要的条件
       ②必要非充分的条件
       ③必要且充分的条件
       ④既非必要又非充分的条件

    　                              ｄ
    　１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］² ，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝    ( ③)
    　                            ｄｘ

       ①ｃｏｓｘ          ②２－ｃｏｓｘ          ③１＋ｓｉｎｘ        ④１－ｓｉｎｘ

    　１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ³ 的曲线方程为ｙ＝  ( ③)

    　   ①ｘ⁴               ②ｘ⁴＋ｃ               ③ｘ⁴＋１             ④ｘ⁴－１

                   １    x
    　１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ²ｄｔ＝  (② )
    　       x→0    ｘ³   0

                                                       １
    　   ① ０               ② １                   ③ ──               ④ ∞
                                                       ３

                               ｘｙ
    　１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ─────  ＝ ( ① )
    　       x→0              ｘ²＋ｙ²
    　       y→0
　
    　    ① ０              ②  １                  ③  ∞                ④  ｓｉｎ１

     １８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是   (③ )

        ① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ'
                                ｄｐ
        ② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───      
                                ｄｙ
                                 ｄｐ
        ③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
                                 ｄｙ
                               １    ｄｐ
        ④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝──  ───
                               ｐ    ｄｙ

                     ∞                                ∞
      １９．设幂级数 ∑ ａ_nｘⁿ在ｘ_o（ｘ_o≠０）收敛， 则 ∑ ａ_nｘⁿ 在│ｘ│〈│ｘo│ ( ①)
                    n=o                               n=o

        ①绝对收敛          ②条件收敛             ③发散            ④收敛性与ａ_n有关

                                                  ｓｉｎｘ
      ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ²所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝   ( ②)
                                              D       ｘ

             1       1  ｓｉｎｘ
         ① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ
             0       x     ｘ
                     __
             1     √y   ｓｉｎｘ
         ② ∫ ｄｙ ∫  ─────ｄｘ
             0       y      ｘ
                     __
             1     √x   ｓｉｎｘ
         ③ ∫ ｄｘ ∫  ─────ｄｙ
             0       x      ｘ
                     __
             1     √x   ｓｉｎｘ
         ④ ∫ ｄｙ ∫  ─────ｄｘ
             0       x      ｘ

　　三、计算题（每小题５分，共４５分）

                      ___________
                    ／ ｘ－１
      １．设 ｙ＝ ／ ──────      求  ｙ'  。
                √   ｘ（ｘ＋３）

                     ｓｉｎ（９ｘ²－１６）
      ２．求 ｌｉｍ  ───────────  。
             x→4/3         ３ｘ－４

                      ｄｘ
      ３．计算 ∫ ───────  。
                  （１＋ｅ^x ）²

          　　  　t                                   1                                 ｄｙ
　　　４．设ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求─── 
          　　　  0                                   t                                 ｄｘ

      ５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

                        ___
      ６．设 ｕ＝ｅ^x＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求  ｄｕ  。

                x  asinθ
      ７．计算 ∫  ∫    ｒｓｉｎθｄｒｄθ  。
                0   0
                               ｙ＋１
      ８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）²ｄｘ 通解  。
                               ｘ＋１

                                ３
      ９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数  。
                       （１－ｘ）（２＋ｘ）

参考答案：

四、应用和证明题（共１５分）